Matrices y sus componentes

En general, una matriz en un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.

TIPOS DE MATRICES

Matriz cuadrada: Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas.

Matriz vertical: Es aquella que tiene más filas que columnas

Matriz Columna:  Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna.

Matriz Horizontal: Es aquella que tiene más columnas que filas.

Matriz Fila: Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila

Matriz Diagonal: Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no.

Matriz escalonada: Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente.
Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.

Matriz triangular superior: Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz triangular inferior: Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz identidad: Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.

Matriz nula o matriz cero: Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero.

Matriz opuesta: Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

Matriz traspuesta: se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

Matriz simétrica: Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

Matriz antisimétrica: Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto, siendo los elementos de la diagonal principal nulos; de valor cero.

Matriz ortogonal: Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

Matriz normal: Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\,}$

donde A^* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Matriz conjugada: Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz  por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Matriz invertible: También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matriz singular o degenerada: También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

Matriz permutación: La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.

Matrices iguales: Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.

Matriz hermitiana: Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.

Matriz definida positiva: Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Matriz unitaria: Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,}$

donde ${\displaystyle I_{n}\,}$ es la matriz identidad y ${\displaystyle U^{*}\,}$ es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada ${\displaystyle U^{*}\,}$.

Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal.

Submatriz: A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n.

OPERACIONES ENTRE MATRICES

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij).

La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma

 dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos

 están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real kR,

 se define el producto de un número real por una

 matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la

 que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k a_ij)

Propiedades

a ·  (b · A) = (a · b) · A A  M_mxn, a, b 

a  ·  (A + B) = a · A + a · BA,B  M_mxn , a  

(a + b) · A = a · A + b · A A  M_mxn , a, b  

1 · A = A A  M_mxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B son multiplicables si el

 número de columnas de A coincide con el

 número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene

 multiplicando cada elemento de la fila i de la

 matriz A por cada elemento de la columna j

 de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo

 orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

REDUCCIÓN DE MATRICES 2x2 3x3

-2x2:son sistemas de agrupación de 2 ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

SOLUCIÓN:

Se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores de x e y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones que este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

- Existen diversos métodos para la solución de ecuaciones de 2x2

- Se encuentra el método por sustitución, igualación, reducción y un método gráfico.

-3x3: Para reducir una matriz realizaremos operaciones elementales entre sus filas

REDUCCIÓN DE MATRICES GAUSS-JORDAN

es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:

d1 = x

d2 = y

d3 = z

Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.

Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

-Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

-Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

-Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

-

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.

-Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 3ª fila.

-A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la matriz identidad.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del numero que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.

-Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila.

El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 1ª fila.

-Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:

x= 1

y= -1

z= 2

-Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.

2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4

2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4

2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4

1 = 1 -3 = -3 4= 4

Espacio vectorial

Es lo perteneciente o relativo a los vectores. Refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o aquello que permite representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación.


La noción del espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma ( interna al conjunto ) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.

Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presenta la misma cardinalidad.

Vector

Un vector es un agente que transporta algo de un lugar a otro.

Un vector puede utilizarse para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo y una dirección u orientación. Su expresión geométrica consiste en segmentos de rectas dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha. La velocidad y la fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales.

Las imágenes vectoriales son imágenes digitales compuestas por objetos geométricos independientes. Estos objetos (como polígonos o segmentos ) están definidos por atributos matemáticos que establecen su color, posición y otras características.

Este tipo de imágenes es habitual que se emplee con gran frecuencia en ámbitos tales como la red internet, la creación de tipografías, el desarrollo y diseño de gráficos o la creación de videojuegos de diversa índole, tanto para consolas como para ordenadores o incluso para aplicaciones móviles.

Un vector espacial o cohete de transporte, por último, en un cohete espacial diseñado para el transporte de carga útil desde la Tierra al espacio exterior.

PLANO CARTESIANO

  Se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal o otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema.

Un plano cartesiano está formado por cuatro cuadrantes o áreas de producto de la unión de 2 rectas  perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y.


La finalidad del plano cartesiano es parejas de puntos llamadas coordenadas que se forman con un valor X y un valor Y representado como P(X,Y) por ejemplo: P(3,4) se puede observar que el 3 pertenece al eje de las abscisas y, el 4 eje de las ordenadas.

Asimismo, sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como: Parábola, hipérbole, linea, circunferencia y elipse, los cuales forman parte de la geometria analitica.

Que es el algebra lineal

Se denomina Álgebra a la rama de las matemáticas que se orientan a la generalización de las operaciones aritméticas a través de signos, letras y números. En el álgebra, las letras y los signos representan a otra entidad a través de un simbolismo.

Se conoce como álgebra lineal a la especialización del álgebra que trabaja con matrices, vectores, espacios vectoriales y ecuaciones de tipo lineal.